MLE와 MAP

최대 우도 추정 (MLE)과 최대 사후 확률 (MAP) 추정은 “SLAM”을 모호한 목표에서 구체적인 최적화 문제로 바꾸는 두 가지 통계적 원리입니다. 거의 모든 SLAM 백엔드 — 필터든 스무더든 — 는 이 두 추정값 중 하나를 계산하고 있는 것입니다.

베이즈 정리가 무대를 마련한다

$\mathbf{x}$ 를 상태(로봇 자세와 맵), $\mathbf{z}$ 를 측정값(특징 관측값, IMU 판독값)이라 합시다. 베이즈 정리는 우리가 원하는 것(사후 확률)을 센서 모델과 운동 모델이 제공하는 것과 연결합니다:

p(\mathbf{x} \mid \mathbf{z}) = \frac{p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})\, p(\mathbf{x})}{p(\mathbf{z})} \propto p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})\, p(\mathbf{x})

$p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})$ — 우도: 상태가 $\mathbf{x}$ 라면 그 측정값이 얼마나 그럴듯한지(관측 모델로부터).
$p(\mathbf{x})$ — 사전 분포: $\mathbf{z}$ 를 보기 전에 우리가 믿는 것(운동 모델, 또는 이전 추정값으로부터).
$p(\mathbf{z})$ — 정규화 상수로, 최적화에는 무관합니다.

두 가지 추정기

MAP는 사후 확률을 최대화하는 상태를 선택합니다:

\mathbf{x}^*_{\text{MAP}} = \arg\max_{\mathbf{x}}\, p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})\, p(\mathbf{x})

MLE는 사전 분포를 버리고(동등하게, 균등 사전 분포를 가정하고) 우도만을 최대화합니다:

\mathbf{x}^*_{\text{MLE}} = \arg\max_{\mathbf{x}}\, p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})

MAP = MLE + 사전 분포. SLAM 관점에서 말하면: 이미지 관측에 대한 순수한 번들 조정은 MLE입니다; 운동 모델 팩터, IMU 팩터, 또는 첫 자세에 대한 사전 분포를 추가하면 MAP를 하고 있는 것입니다.

확률에서 최소제곱으로

SLAM 백엔드가 범용 확률적 추론 엔진이 아니라 최소제곱 솔버인 이유는 가우시안 잡음 가정에 있습니다. 측정 모델 $\mathbf{z} = h(\mathbf{x}) + \mathbf{v}$ , $\mathbf{v} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \Sigma)$ 를 예로 들면:

p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x}) \propto \exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\,\|\mathbf{z} - h(\mathbf{x})\|^2_{\Sigma^{-1}}\right)

여기서 $\|\mathbf{e}\|^2_{\Sigma^{-1}} = \mathbf{e}^T \Sigma^{-1} \mathbf{e}$ 는 제곱 마할라노비스 거리입니다. 음의 로그를 취하면 — 최대화를 최소화로, 독립 측정값의 곱을 합으로 바꾸어 주는데 — MAP 문제는 다음과 같이 됩니다:

\mathbf{x}^* = \arg\min_{\mathbf{x}} \left[ \sum_t \|h(\mathbf{x}_t) - \mathbf{z}_t\|^2_{R_t^{-1}} + \sum_t \|f(\mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{u}_t) - \mathbf{x}_t\|^2_{Q_t^{-1}} \right]

첫 번째 합은 관측 비용(측정 공분산 $R_t$ 를 가진 재투영 오차 등)이고, 두 번째 합은 운동 모델 비용(오도메트리/IMU, 프로세스 공분산 $Q_t$ )입니다. 반드시 새겨 두어야 할 세 가지 결론:

제곱 오차는 임의로 고른 것이 아닙니다 — 이는 가우시안의 음의 로그입니다. 잡음이 가우시안이 아니라면(이상치!) 제곱 손실은 잘못된 우도이며, 이것이 바로 M-estimator가 존재하는 이유입니다.
공분산은 가중값이 됩니다: 확신도가 높은 센서(작은 $\Sigma$ )는 강하게 가중된 잔차를 기여합니다. g2o/GTSAM의 정보 행렬 $\Omega = \Sigma^{-1}$ 은 정확히 이 가중값입니다.
독립성은 희소성이 됩니다: 각 측정값은 몇 개의 상태 변수에만 의존하므로, 로그 사후 확률은 작은 지역 항들의 합입니다 — 팩터 그래프이며, 솔버는 그 구조를 활용합니다.

필터 대 스무더

확장 칼만 필터는 한 시간 단계씩 사후 확률의 재귀적 가우시안 근사를 계산합니다(예측 단계는 $p(\mathbf{x})$ , 업데이트 단계는 $p(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})$ 를 사용), 반면 현대적인 스무딩 백엔드는 전체 궤적에 대해 비선형 최적화로 완전한 MAP 문제를 풉니다. 둘 다 동일한 사후 확률을 좇고 있습니다; 다른 점은 무엇을 근사하는지, 언제 선형화하는지입니다.

SLAM에서의 의미

MLE/MAP는 SLAM의 확률적 형식화와 이를 풀어내는 최적화 기법을 잇는 다리입니다. 이후의 모든 설계 결정 — 왜 잔차가 역공분산으로 가중되는지, 왜 번들 조정이 제곱 재투영 오차를 최소화하는지, 왜 사전 팩터가 게이지 자유도를 고정하는지, 왜 이상치가 강건 커널을 필요로 하는지 — 는 “가우시안 잡음 하의 MAP는 가중 비선형 최소제곱과 같다”는 이 한 줄의 직접적인 결론입니다. 이 한 줄을 스스로 다시 유도할 수 있다면, 대부분의 백엔드 논문은 쉽게 읽힙니다.