点群(Point Cloud)

**点群(point cloud)**は3D点の集合 $\{\mathbf{X}_i\}$ 、 $\mathbf{X}_i \in \mathbb{R}^3$ であり、任意で色、表面法線、反射強度(LiDAR)などの点ごとの属性を持つことができる。これは最も単純で最も普遍的な3D地図表現である。連結性もグリッドもなく、環境の表面を単にサンプルしただけのものである。

点はどこから来るのか

スパースな点群:三角測量された特徴の地図点のみ(ORB-SLAM方式)。数千個の点であり、メモリ使用量は非常に少なく、位置推定には適しているが、密な表面の幾何情報は持たない。
密な点群:有効な深度画像の全ピクセルを3Dへ逆投影したもの。ピクセル $(u, v)$ が深度 $d$ と内部パラメータ $(f_x, f_y, c_x, c_y)$ を持つ場合、

\mathbf{X} = d \begin{bmatrix} (u - c_x)/f_x \\ (v - c_y)/f_y \\ 1 \end{bmatrix}

1枚のVGA深度フレームは約30万点を生成するため、密な点群はメモリを大量に消費し、空間インデックス(kd-treeやボクセルハッシュマップ、PCLやOpen3Dで使われるもの)を必要とする。

LiDARスキャン:直接的な測距計測を直交座標の点に変換したもの。典型的には10〜20Hzで走査される。

主な操作

ダウンサンプリング(ボクセルグリッドフィルタ)。 空間を辺の長さ $\ell$ の立方体に分割し、各立方体内のすべての点をその重心で置き換える。これによって密度を制限し、冗長性を取り除き、後続の処理(ICP、法線推定)を扱いやすくする。

局所PCAによる法線推定。 各点について、その $k$ 個の最近傍を集め、局所共分散を形成する。

C = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} (\mathbf{p}_i - \bar{\mathbf{p}})(\mathbf{p}_i - \bar{\mathbf{p}})^T

そして、 $C$ の最小固有値に対応する固有ベクトルを表面法線とする(局所的な広がりが最も少ない方向)。固有値の比率は局所的な平面性/曲率の尺度も与え、例えばLiDARオドメトリでエッジ特徴か平面特徴かを選ぶ際に使われる。

最近傍探索。 対応関係の探索(ICPの内側ループ)は高速な最近傍クエリを必要とし、これはkd-treeやボクセルハッシングによって提供される。

レジストレーション。 2つの点群は、 $\sum_i \lVert \mathbf{q}_i - (R\mathbf{p}_i + \mathbf{t}) \rVert^2$ を最小化する剛体変換 $(R, \mathbf{t})$ を推定することで位置合わせされる——対応関係が既知であれば、相互共分散行列のSVDによって閉形式で解かれ、そうでなければ再マッチングを伴って反復される(ICP)。

強みと弱み

強み:自明にインクリメンタルである(点を追加するだけでよい)、センサに依存しない、正確なサンプル位置が保持される、変換が容易(点ごとに $R, \mathbf{t}$ を適用するだけ)。
弱み:明示的な表面や自由空間の情報がない(「このセルは空か」を直接レイキャストで問うことができない)、時間経過とともに無制限に増大する、再観測された表面上に点が重複する、そして組み込みのノイズ融合機能がない——占有格子やTSDFボクセルマップとは異なり、生の点群は繰り返し計測を平均化しない。

これが、密なSLAMシステムが典型的には点群を入力/中間表現として使い、持続的なモデルのためにボクセル(TSDF/占有)またはサーフェルマップへと融合する理由である。

SLAMにおける意義

特徴ベースSLAMにおけるスパースな地図そのものが点群であり、トラッキングはそれに対してPnPを解く。
RGB-DとLiDARオドメトリは、連続する点群を位置合わせ(ICPおよびその変種)して自己運動を推定する。
密なマッピングパイプラインは深度フレームを点群に変換し、それをTSDFまたは占有構造に統合する。
地図品質のチェック(密度、カバレッジ、退化した共平面の幾何)は点群に対して行われる。共平面の点群は初期化にとって退化した構成である。

ハンズオン

点群前処理