Gaussian Blur

**가우시안 블러(Gaussian blur)**는 이미지 $I$ 와 2D 가우시안 커널의 컨볼루션입니다. 컴퓨터 비전의 표준적인 저역 통과 필터로서, 미분 기반 연산을 수행하기 전에 고주파 노이즈를 억제하며, 스케일 스페이스(scale space)의 수학적 기반이 됩니다. 표준편차 $\sigma$ 를 가진 커널은 다음과 같습니다.

$G_\sigma(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp\!\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right)$

그리고 평활화된 이미지는 $L(x, y, \sigma) = (G_\sigma * I)(x, y)$ 이며, 여기서 $*$ 는 컨볼루션을 나타냅니다. 실제로는 커널을 유한한 윈도우로 절단하고(가우시안 질량의 거의 전부가 $\pm 3\sigma$ 안에 들어오므로 반폭을 약 $3\sigma$ 로 잡는 것이 일반적인 선택입니다) 원소들의 합이 1이 되도록 정규화하여 이미지의 평균 밝기를 보존합니다.

핵심 성질

분리 가능성(Separability). 2D 가우시안은 두 개의 1D 가우시안으로 인수분해됩니다: $G_\sigma(x,y) = g_\sigma(x)\, g_\sigma(y)$ . 픽셀당 $O(k^2)$ 가 드는 $k \times k$ 2D 컨볼루션이 픽셀당 $O(2k)$ 가 드는 수평 패스와 수직 패스로 바뀝니다. 제대로 된 구현이라면 모두 이 성질을 활용합니다.
캐스케이드(반군) 성질. $\sigma_1$ 으로 블러를 적용한 뒤 $\sigma_2$ 로 다시 블러를 적용하는 것은 $\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ 로 한 번에 블러를 적용하는 것과 동등합니다. 이 성질 덕분에 스케일 스페이스 피라미드는 원본 이미지를 매번 다시 블러 처리하지 않고, 이전 레벨로부터 각 레벨을 점진적으로 만들어 낼 수 있습니다.
스케일 스페이스의 유일성. 가우시안은 $\sigma$ 가 커져도 새로운 가짜 구조를 만들어내지 않는(인과성, causality) 유일한 선형 스케일 스페이스 생성 커널입니다. 이것이 바로 SIFT와 관련 검출기들이 스케일을 “가우시안 블러의 양”으로 정의하는 이유입니다.
노이즈와 위치 정확도 사이의 트레이드오프. $\sigma$ 가 클수록 노이즈는 더 많이 제거되지만 세부 디테일도 함께 사라지고 에지/코너의 위치가 이동합니다. 이 때문에 특징점 검출 파이프라인은 검출 단계에서는 작은 $\sigma$ 를 사용하고, 스케일 불변성이 필요한 경우에만 큰 $\sigma$ 를 사용합니다.

미분 계산에서의 역할

미분은 노이즈를 증폭시키므로, 그래디언트는 항상 평활화된 이미지 위에서 계산됩니다. 컨볼루션과 미분은 교환 가능하므로,

$\frac{\partial}{\partial x}\big(G_\sigma * I\big) = \left(\frac{\partial G_\sigma}{\partial x}\right) * I$

가우시안의 도함수로 직접 컨볼루션을 수행할 수 있습니다. Harris 코너 검출, Canny 에지, KLT 추적, 광학 흐름은 모두 이런 방식으로 안정화된 그래디언트에 의존합니다. SIFT가 사용하는 가우시안 차분(Difference of Gaussians, DoG),

$D(x, y, \sigma) = L(x, y, k\sigma) - L(x, y, \sigma)$

은 스케일 정규화된 가우시안 라플라시안(Laplacian of Gaussian)의 저비용 근사이며, 두 번의 블러와 한 번의 뺄셈만으로 블롭 검출기를 구현할 수 있게 해줍니다.

이미지 피라미드에서의 앤티 얼라이어싱

새로운 나이퀴스트(Nyquist) 한계보다 높은 주파수를 먼저 제거하지 않고 이미지를 다운샘플링하면 얼라이어싱 아티팩트가 발생합니다. 그래서 이미지 피라미드는 각 반분(halving) 단계 전에 가우시안 블러를 적용합니다---이것이 고전적인 가우시안 피라미드입니다. 멀티스케일 특징점 검출(ORB의 스케일 레벨, KLT의 coarse-to-fine 추적)은 이 사전 평활화가 올바르게 이루어지는 것에 의존합니다.

실용적인 노트

커널 크기 선택: $\sigma$ 가 주어지면, 약 $6\sigma + 1$ 픽셀 폭의 윈도우가 커널을 충분히 담아냅니다. 반대로 커널 크기만 주어졌을 때 라이브러리는 그로부터 $\sigma$ 를 유도합니다. 윈도우가 너무 작으면 가우시안이 절단되어 아티팩트가 발생합니다.
반복적인 박스 필터: 중심극한정리에 의해, 박스(평균) 필터를 여러 번 컨볼루션하면 가우시안에 근사합니다. 박스 필터가 거의 무료인 하드웨어(적분 이미지, integral image)에서 흔히 쓰이는 트릭입니다.
경계 처리: 컨볼루션은 이미지 바깥의 값을 필요로 합니다. 복제/반사 패딩을 어떻게 선택하느냐에 따라 경계 근처의 응답이 미묘하게 달라지며, 이는 이미지 가장자리 부근에서 특징점을 검출할 때 중요합니다.
블러가 항상 적은 아니다: 레퍼런스 이미지를 의도적으로 블러 처리하면 다이렉트/포토메트릭 정합의 수렴 영역(convergence basin)이 넓어집니다. 이것이 (강하게 평활화된) 거친 피라미드 레벨을 먼저 정합하는 이유 중 하나입니다.

SLAM에서의 의미

Visual SLAM의 프론트엔드 연산 대부분은 가우시안 블러를 거칩니다: 그래디언트 기반 검출기와 트래커는 미분 전에 평활화를 수행하고, SIFT는 전체 검출 파이프라인을 가우시안 스케일 스페이스와 DoG 위에 구축하며, ORB와 KLT는 스케일 강건성을 위해 가우시안 피라미드 위에서 동작하고, 다이렉트 방법은 포토메트릭 정합의 수렴 영역을 넓혀주는 완만한 평활화의 이점을 얻습니다. $\sigma$ 가 노이즈 억제와 특징점 위치 정확도를 어떻게 맞바꾸는지 이해하면 SLAM 프론트엔드의 여러 실무적인 튜닝 결정을 설명할 수 있습니다.