Gaussian Blur

**高斯模糊（Gaussian blur）**是图像 $I$ 与一个二维高斯核的卷积。它是计算机视觉中标准的低通滤波器：在进行任何基于导数的运算之前抑制高频噪声，并且是尺度空间（scale space）的数学基础。标准差为 $\sigma$ 的核为

$G_\sigma(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp\!\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right)$

平滑后的图像为 $L(x, y, \sigma) = (G_\sigma * I)(x, y)$ ，其中 $*$ 表示卷积。在实践中，核会被截断到一个有限窗口内（常见的选择是半宽约为 $3\sigma$ ，因为高斯分布几乎所有的质量都集中在 $\pm 3\sigma$ 范围内），并归一化使其元素之和为 1，从而保持图像的平均亮度不变。

关键性质

可分离性（Separability）。 二维高斯核可以分解为两个一维高斯核， $G_\sigma(x,y) = g_\sigma(x)\, g_\sigma(y)$ 。一次 $k \times k$ 的二维卷积（每个像素 $O(k^2)$ ）变成一次水平方向和一次垂直方向的卷积（每个像素 $O(2k)$ ）。每一个正规的实现都会利用这一点。
级联（半群）性质。 先用 $\sigma_1$ 模糊，再用 $\sigma_2$ 模糊，等价于用单次 $\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ 的模糊。这使得尺度空间金字塔可以基于上一层增量式地构建每一层，而不必每次都对原始图像重新模糊。
尺度空间唯一性。 高斯核是唯一能够在 $\sigma$ 增大时生成线性尺度空间且不引入虚假新结构的核（因果性，causality property）。这正是 SIFT 及相关检测器将尺度定义为”高斯模糊量”的原因。
噪声与定位精度的权衡。 更大的 $\sigma$ 能去除更多噪声，但也会抹去细节并使边缘/角点发生偏移。因此特征提取流水线在检测阶段使用较小的 $\sigma$ ，只有在需要尺度不变性时才使用较大的 $\sigma$ 。

在导数计算中的作用

微分运算会放大噪声，因此梯度总是在平滑后的图像上计算。由于卷积与微分是可交换的，

$\frac{\partial}{\partial x}\big(G_\sigma * I\big) = \left(\frac{\partial G_\sigma}{\partial x}\right) * I$

可以直接与高斯的导数进行卷积。Harris 角点检测、Canny 边缘检测、KLT 跟踪以及光流都依赖以这种方式稳定后的梯度。SIFT 使用的高斯差分（Difference of Gaussians, DoG），

$D(x, y, \sigma) = L(x, y, k\sigma) - L(x, y, \sigma)$

是尺度归一化高斯拉普拉斯算子的一种廉价近似，把两次模糊和一次减法变成了一个斑点（blob）检测器。

图像金字塔中的抗锯齿

在不先去除高于新奈奎斯特极限的频率成分的情况下对图像降采样，会产生走样（aliasing）伪影。因此图像金字塔在每次减半操作之前都会先施加一次高斯模糊——这就是经典的高斯金字塔。多尺度特征检测（ORB 的尺度层、KLT 的从粗到细跟踪）都依赖于这种预平滑操作被正确地执行。

实用说明

核大小的选择：给定 $\sigma$ ，一个约 $6\sigma + 1$ 像素宽的窗口就能覆盖该核；反过来，当只给出核大小时，库会由此推导出 $\sigma$ 。窗口过小会截断高斯核并引入伪影。
反复使用箱式滤波器：根据中心极限定理，多次使用箱式（均值）滤波器进行卷积可以近似高斯滤波；这是在箱式滤波器几乎零成本的硬件（积分图像）上常用的技巧。
边界处理：卷积需要图像外部的数值；复制/反射填充的不同选择会微妙地改变靠近边界处的响应，这在图像边缘附近检测特征时会产生影响。
模糊并非总是敌人：故意对参考图像进行模糊可以扩大直接法/基于光度的对齐的收敛域，这也是为何（大幅平滑的）粗糙金字塔层要先进行对齐的原因之一。

对SLAM的意义

视觉SLAM中几乎每一个前端操作都涉及高斯模糊：基于梯度的检测器和跟踪器在求导前都会先平滑；SIFT 的整个检测流水线都建立在高斯尺度空间与 DoG 之上；ORB 和 KLT 都在高斯金字塔上运行以获得尺度鲁棒性；直接法则能从适度平滑扩大光度对齐收敛域中获益。理解 $\sigma$ 如何在噪声抑制与特征定位精度之间进行权衡，能够解释SLAM前端中许多实际的调参决策。