Gaussian Blur

**Gaussian blur（ガウシアンブラー）**は、画像 $I$ を2次元ガウシアンカーネルで畳み込む処理である。コンピュータビジョンにおける標準的なローパスフィルタであり、微分ベースの処理の前に高周波ノイズを抑制し、スケール空間の数学的基礎をなす。標準偏差 $\sigma$ のカーネルは

$G_\sigma(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp\!\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right)$

であり、平滑化された画像は $L(x, y, \sigma) = (G_\sigma * I)(x, y)$ と表される。ここで $*$ は畳み込みを表す。実装上はカーネルを有限のウィンドウに切り詰め（一般的には半幅を約 $3\sigma$ とする。ガウシアンの質量のほぼ全てが $\pm 3\sigma$ の範囲に収まるため）、要素の合計が1になるよう正規化する。これにより画像の平均輝度が保たれる。

主な性質

分離可能性（Separability）。 2次元ガウシアンは2つの1次元ガウシアンの積に分解できる： $G_\sigma(x,y) = g_\sigma(x)\, g_\sigma(y)$ 。 $k \times k$ の2次元畳み込み（1ピクセルあたり $O(k^2)$ ）が、水平方向のパスと垂直方向のパスに分けられる（1ピクセルあたり $O(2k)$ ）。本格的な実装はすべてこの性質を利用している。
カスケード（半群）性質。 $\sigma_1$ でブラーをかけた後に $\sigma_2$ でブラーをかけることは、 $\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ での単一のブラーと等価である。これにより、スケール空間ピラミッドは元画像を再度ブラーし直すのではなく、前の階層から各レベルを段階的に構築できる。
スケール空間の一意性。 ガウシアンは、 $\sigma$ が大きくなるにつれて新たな偽の構造を生み出さずに線形スケール空間を生成する唯一のカーネルである（因果性の性質）。これが、SIFTや関連する検出器がスケールを「ガウシアンブラーの量」として定義する理由である。
ノイズと局在性のトレードオフ。 $\sigma$ を大きくするほどノイズは除去されるが、微細な detail も失われ、エッジや特徴点の位置がずれる。そのため特徴点抽出パイプラインでは、検出には小さな $\sigma$ を用い、スケール不変性が必要な場合にのみ大きな $\sigma$ を使う。

微分計算における役割

微分はノイズを増幅するため、勾度は常に平滑化された画像上で計算される。畳み込みと微分は交換可能であるため、

$\frac{\partial}{\partial x}\big(G_\sigma * I\big) = \left(\frac{\partial G_\sigma}{\partial x}\right) * I$

ガウシアンの導関数で直接畳み込むことができる。Harrisコーナー検出、Cannyエッジ検出、KLTトラッキング、オプティカルフローはいずれも、この方法で安定化された勾度に依存している。SIFTで使われるDifference of Gaussians（DoG）、

$D(x, y, \sigma) = L(x, y, k\sigma) - L(x, y, \sigma)$

は、スケール正規化されたラプラシアン・オブ・ガウシアンの安価な近似であり、2回のブラーと1回の減算をブロブ検出器に変換するものである。

画像ピラミッドにおけるアンチエイリアシング

新しいナイキスト限界を超える周波数を先に除去せずに画像をダウンサンプリングすると、エイリアシングのアーティファクトが生じる。そのため画像ピラミッドでは、各縮小ステップの前にガウシアンブラーを適用する ── これが古典的なガウシアンピラミッドである。マルチスケール特徴点検出（ORBのスケールレベル、KLTの粗密トラッキング）は、この事前平滑化が正しく行われることに依存している。

実践上の注意点

カーネルサイズの選択： $\sigma$ が与えられれば、およそ $6\sigma + 1$ ピクセルのウィンドウでカーネルを捕捉できる。逆に、カーネルサイズのみが指定された場合、ライブラリはそこから $\sigma$ を導出する。ウィンドウが小さすぎるとガウシアンが切り詰められ、アーティファクトが生じる。
ボックスフィルタの反復適用：中心極限定理により、ボックス（平均）フィルタを複数回畳み込むとガウシアンに近似する。これは、ボックスフィルタがほぼ無コストであるハードウェア（積分画像）でよく使われるトリックである。
境界処理：畳み込みには画像外の値が必要になる。replicate/reflectのどちらのパディングを選ぶかによって境界付近の応答が微妙に変化し、画像端に近い特徴点を検出する際に影響する。
ブラーは常に敵ではない：参照画像を意図的にブラーすることで、直接法/photometricアライメントの収束範囲が広がる。これが、粗いピラミッドレベル（強く平滑化されている）を先にアライメントする理由の一つである。

SLAMにおける意義

Visual SLAMのフロントエンド処理のほとんどすべてがガウシアンブラーに関わっている：勾度ベースの検出器・トラッカーは微分前に平滑化を行い、SIFTは検出パイプライン全体をガウシアンスケール空間とDoGの上に構築し、ORBとKLTはスケール耐性のためガウシアンピラミッド上で動作し、直接法はphotometricアライメントの収束範囲を広げる穏やかな平滑化の恩恵を受ける。 $\sigma$ がノイズ抑制と特徴点の局在精度をどのようにトレードオフするかを理解することは、SLAMフロントエンドにおける多くの実践的なチューニング判断を説明する。